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(跟上一章同样的理由)
伯克利基数:berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K,具有以下性质:
对于包含k和a<k的每个传递集m,存在m的非平凡初等嵌入,其中a<临界点<K.berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理,这意味着它们与选择公理不兼容。
作为伯克利基数的弱化是,对于Vk上的每个二元关系R,都有(VK,R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的
j1,j2,j3...
j1:(Vk,∈)→(VK,∈),
j2:(VK,∈,j1)→(Vk,∈,j1),
j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈,j1,j2)等等。
这可以持续任意有限次,并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。
因此,似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。
对于每个序数入,存在一个ZF+berkeley基数的传递模型,该模型在入序列下是封闭的,是不需要定义的类。
超级莱茵哈特基数:对于任一序数a,存在一j:V→Vwithj(K)>a并具有临界点K,可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性,从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club:基数k是伯克利基数,如果对于任何带k的传递集k∈m和任何序数a<k,都会有一个初等嵌入j:m<m和critj<k,如果真的存在伯克利基数,那么就会有对力迫扩张绝对,它使最小的伯克利基数有共尾性w,通过对k的施加一定的条件,似乎可以增强berkeley性质,如果k是berkeley和a,a∈m且m有传递,那么对于任意a<k,都有一个j:m<m和a<critj<k和critj(a)=a,对于任意一个可传递的m?k都存在j:m?m与critj<K,基数是berkeley,且仅当对于任何传递集m?k存在j:m?m和a<critj<k,因此δ≥k,δ也是伯克利,最小的伯克利基数也被称为δ_a,称k为club-伯克利,如果k是正则的,并且对于所有club→c?k和所有带k的传递集m∈m;有j∈e(m)和crit(j)∈c,称k为limitclub伯克利,它是一个club伯克利基数limit伯克利基数,如果K为最小的伯克利,则y<k。
冯·诺依曼宇宙V
V?=?
V_a+1=p(V_a)
若λ为极限序数,则V_λ=u_kλV_k,
V=u_kV_k,k跑遍所有序数,令ord为所有序数的类则V=u_k∈ordV_k
V表示宇宙V,?表示初始状态,a表示任意序数,p表示幂集,u表示并集,k表示序数。
可构造宇宙V=L
定义def为一个包含所有x子集的集合。
一个x的子集x位于def(x)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u?,u?,u?,……∈x
使得x={y∈x:φ?[y,u?,u?,u?,……]
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